제16회 겨울학교 강의록 download ↓

최경수 (고등과학원)     → 강의록 다운로드 18일(월) 19일(화) 20일(수) 25일(월) 26일(화)    

- Title: 매듭이론과 확산방정식

- Abstract: 우리는 일상생활에서 운동화 끈과 같은 매듭을 자주 발견한다. 이 매듭의 끝을 이어서 닫힌 단일곡선을 만든다면, 수많은 닫힌곡선들이 둥근 원으로 돌아갈 수 없다. 우리는 그 곡선들은 꼬여있다고 한다. 이와 비슷하게 공간에 매몰되고 닫혀있는 단순-연결된 곡면들 중 연속적으로 변화하여 둥근 구가 될 수 없는 꼬인 곡면들이 존재한다. 그런데 위상수학개론에 의하면 닫혀있는 단순-연결된 곡면은 구와 위상 동형이다. 다시 말해, 매몰되어 있는 위상 동형인 두 곡면이 동위체가 아닐 수 있다는 말이다. 이처럼 매몰되어 있는 초곡면이 구와 위상 동형일 때 둥근 구와 동위체인지 묻는 질문을 쇤플리스 문제라고 한다.

기하학적 해석학자들은 1980년대에 푸엥카레 추측을 해결하기 위해 리찌 흐름을 도입하면서, 쇤플리스 문제를 해결하기 위해 평균 곡률 흐름을 도입했다. 두 흐름 모두 확산방정식의 일종으로 방정식의 해인 다양체가 평형 상태가 되기 위해 움직인다. 일반적으로 이런 흐름들은 둥근 구나 둥근 원통과 같은 단순한 형태의 평형 상태로 진화하기 때문에, 다양체의 위상 변화를 관찰하는데 도움이 된다.

이 강연에서는 확산방정식의 기본적인 성질을 확인하고, 위상 변화와 방정식의 특이점의 관계를 관찰한다. 또한 특이점에서 흐름이 평형 상태로 수렴함을 보이고, 그 평형 상태들의 안정성에 대하여 논의한다.

첫째 주에는 미분방정식과 20세기의 주요 결과들에 대해 강연한다. 1강은 쇤플리스 문제와 미분방정식의 입문 강연이며, 2강에서는 평면 위의 볼록한 곡선의 흐름을 예제로 하여 미분방정식의 기초이론을 공부한다. 3강은 일반적인 세미나 형식으로 페렐만의 푸엥카레 추측의 증명에 관계된 내용들을 소개한다. 둘째 주의 4강은 변분법과 임계점의 안정성을 중심으로 하는 입문 강연이며, 5강은 최신 연구 동향에 대해 소개한다.

최인송 (건국대학교)     → 강의록 다운로드 18일(월)

- Title: Introduction to Riemann surfaces I, II

- Abstract: 리만면의 기본적인 개념과 성질에 대해서 소개하는 강의이다. 특히 미분기하 또는 복소해석으로부터 정의된 컴팩트 리만면이 대수적인 성격을 가지게 됨을 몇 가지 측면에서 관찰하고자 한다. 첫 시간에는 리만면의 구체적인 예를 살펴보면서 "사파리" 체험을 시도해보고자 한다. 두 번째 시간에는 컴팩트 리만면 위의  holomorphic/meromorphic functions/forms에 대해 살펴보면서, 함수론과 기하적 성질의 관련성을 알아본다.

최범준 (University of Toronto)     → 강의록 다운로드 18일(월)-19일(화)

- Title: Geometric inequalities and inverse mean curvature flow

- Abstract: The inverse mean curvature flow, or the curvature flow in general, has effective in showing geometric inequalities such as isoperimetric inequality, Alexandrov-Fenchel inequality, and  Penrose inequality.

In the first part, we introduce basic notions and review such results with brief sketches. Then we discuss the existence and asymptotic behavior of convex non-compact inverse mean curvature flow, which is based on joint works with P. Daskalopoulos and P.-K. Hung.

박지원 (Caltech)     → 강의록 다운로드 19일(화) 20일(수) 

- Title: Convergence of Riemannian manifolds with curvature bounded below

- Abstract: What does it mean that two Riemannian manifolds are “close”? In other words, what is a suitable topology to equip a class of Riemannian manifolds with? Does the closure under that topology include spaces that are no longer Riemannian manifolds, but have singularities? These fundamental questions appear in various circumstances in geometric analysis. In the first talk, I will survey some of the convergence results for classes of manifolds with bound(s) on Ricci curvature or scalar curvature, including Gromov compactness theorem, some aspects of Cheeger-Colding theory, and Sormani-Wenger compactness theorem. In the second talk, I will discuss firstly a method of identifying scales on certain noncompact Ricci flat manifolds, and secondly, a compactness theorem for rotationally symmetric manifolds with positive scalar curvature. The second work is joint with Wenchuan Tian and Changliang Wang.

김현규 (이화여자대학교)     → 강의록 다운로드 19일(화) 25일(월)

• 19일(화)

- Title: Basics on Teichmüller spaces of Riemann surfaces

- Abstract: The Teichmüller space of a topological surface S can be viewed as the universal cover of Riemann's classical moduli space which parametrizes all possible Riemann surface structures on S. I will introduce several definitions of the Teichmüller space. I will present how the Poincaré-Koebe Uniformization theorem lets us go back and forth between the complex-structure definition and the hyperbolic-metric definition. A smooth manifold structure on the Teichmüller space will be discussed.

• 25일(월)

- Title: Teichmüller spaces as cluster varieties

- Abstract: I will review some versions of Teichmüller spaces of a non-compact surface S, and two special coordinate systems of them. Each of these coordinate systems require an additional choice of data, called the ideal triangulation of S. We will investigate the coordinate change formulas associated to changes of ideal triangulations. This will let us view the Teichmüller spaces as positive real points of certain cluster varieties. .

이태훈(고등과학원)     → 강의록 다운로드 20일(수)

- Title: Gauss curvature flow with an obstacle

- Abstract: Gauss curvature flow describes the shape of a tumbling stone on a beach which is worn down by collision. Interestingly, it was observed by Hamilton that the Gauss curvature flow preserves its flat sides for some time. Since the flow with flat sides can be formulated as a free boundary problem with zero lower obstacles, it is a natural question that how a flow with upper obstacles evolves.

In this talk, we address the (upper) obstacle problem for the Gauss curvature flow that models a tumbling stone with a hard core which makes the erosion stop. In particular, we focus on the shape of solutions near the obstacle and describe the limit behavior. This is a joint work with K.-A. Lee.

연응범 (서울대학교)

- Title: Existence and uniqueness results on capillary minimal surfaces  via Weierstrass representation formula

- Abstract: There are various results on the existence and uniqueness of capillary minimal surfaces. Capillary minimal surface  in a domain  is a minimal surface  which meets  in a constant contact angle along . If the contact angle is a right angle then such a surface is called a free boundary minimal surface. A famous Fraser-Li conjecture asks if the critical catenoid would be the only embedded free boundary minimal annulus in a unit ball in . In this talk, I will describe some of the recent results on the existence and uniqueness of capillary minimal surfaces mostly exploiting a well known Weierstrass representation formula. First part of the talk will include some results on the existence/nonexistence of a capillary minimal surface outside the unit ball in . Second part of the talk will include some results and observations regarding Fraser-Li conjecture based on a joint work with Jaehoon Lee.

김홍종 (GIST,서울대학교)

- Title: The elements of Euclid

유성민 (IBS-CGP)     → 강의록 다운로드 25일(월) 26일(화)

- Title: Kähler-Einstein metrics, Kähler-Ricci flows, and their deformations

- Abstract: In the first talk, we will briefly review basics of Kähler Geometry and discuss some recent developments with focus on Kähler-Einstein metrics and Kähler Ricci flows.

In the second talk, we will study variations of these metrics along deformations of complex structures. In particular, I will introduce my recent work with Young-Jun Choi on fiberwise Kähler-Ricci flows on families of stronglypseudoconvex domains.

김영욱 (고려대학교)

- Title: 우리 수학의 역사에서 배우는 것

이재훈 (서울대학교)

- Title:  MINIMAL SURFACES LIKE THE LAGRANGIAN CATENOID

- Abstract: The Lagrangian catenoid in  is one of the minimal Lagrangian surfaces constructed by Harvey and Lawson. It is asymptotic to two -planes and has total curvature . Since there is no minimal surface with two embedded planar ends , its asymptotic behavior is only possible in high codimension. So it is natural to ask in high codimension whether there is any other minimal surface with two complete ends of the same type. In this talk, we discuss embedded planar ends in arbitrary codimension. Then we prove some results on the non-existence of minimal surface with two embedded planar ends and a positive genus.